Selasa, 24 Februari 2015

Faktorial

Misalkan akan dibentuk bilangan ribuan yang dipilih dari angka-angka 1, 2, 3, dan 4, maka dengan menggunakan aturan perkalian akan diperoleh banyaknya bilangan 4 angka (tanpa pengulangan) adalah 4 × 3 × 2 × 1. Terlihat bahwa pada perkalian ini faktornya berkurang satu, dengan polanya 4 × (4 – 1) × (4 – 2) × (4 × 3) = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Jenis perkalian bilangan asli yang menurun seperti di atas disebut faktorial. 4 × 3 × 2 × 1 disebut 4 faktorial, atau ditulis dengan 4! Jadi nilai dari 4! adalah 4 × 3 × 2 × 1 = 24.
Secara umum penulisan faktorial untuk bilangan asli n dapat ditulis,

n! = n × (n – 1) × (n – 2) × … × 2 × 1
n! = n × (n – 1)!

Sehingga diperoleh,

n sama dengan n! dibagi (n – 1)!

Dalam faktorial terdapat 2 definisi, yaitu bahwa 1! = 1 dan 0! = 1.
Dalam Matematika , faktorial dari bilangan asli n adalah hasil perkalian antara bilangan bulat positif yang kurang dari atau sama dengan n. Faktorial ditulis sebagai n! dan disebut n faktorial. Secara umum dapat dituliskan sebagai:

n!=n \cdot (n-1) \cdot (n-2)\cdot (n-3) \cdot ... \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1

Sebagai contoh, nilai dari

7!

adalah

7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=5040.

Contoh Soal:
1.) Nilai dari

adalah ...

Jawab :

2.) a. 7!

b. 17! / 0!16!

c. 12! / 2!8!

d. 8! / 5!

Jawab :

3.) Nyatakan bentuk-bentuk berikut ke dalam faktorial:

a. 157 × 156 × 155

b. 8!(9 × 10)

c. n(n – 1)(n – 2)

Jawab :

Permutasi

Permutasi adalah pengelompokkan unsur dengan memperhatikan urutan. Permutasi dilakukan dengan cara menyusun kembali suatu kumpulan objek dalam urutan yang berbeda dari urutan semula yang sudah dilakukan. Dalam permutasi berlaku susunan AB ≠ susunan BA sehingga AB dan BA merupakan dua susunan yang berbeda. Penulisan permutasi dapat disombolkan dengan P(n,k), nPk ataupun Pkⁿ dibaca permutasi k dari n benda yaitu menyusun ulang sejumlah unsur saja.

Banyaknya permutasi k unsur dari n benda dapat dihitung dengan menggunakan persamaan berikut :

n!
nPr = ————
(n - r)!

dengan syarat r ≤ n.

Permutasi dapat berupa permutasi siklis maupun permutasi berulang sebagai berikut :

Permutasi Siklis
Permutasi siklis adalah jenis permutasi yang beranggapan bahwa susunan benda berbentuk lingkaran. Dengan kata lain, permutasi siklis digunakan untuk melihat banyaknya penyusunan benda yang disusun secara melingkar.

nP(siklis) = (n - 1)!
Permutasi Berulang
Permutasi berulang adalah jenis permutasi yang dalam penyusunannya urutan diperhatikan dan suatu objek dapat dipilih lebih dari sekali sehingga ada perulangan. Banyaknya permutasi adalah :

nPr (berulang) = n^r

dengan :
n = banyaknya objek yang dapat dipilih
r = jumlah yang harus dipilih.

Contoh Soal:

1.) Tentukan banyaknya bilangan yang terdiri dari 6 angka yang disusun dari 2 buah angka 1, 3 buah angka 2, dan 1 buah angka 3!
Jawab:

Banyaknya bilangan yang terdiri atas 6 angka yang disusun dari 2 buah angka 1, 3 buah angka 2, dan 1 buah angka 3 adalah:

6!/2! 3! 1! = 60 bilangan

2.) Banyaknya bilangan yang terdiri atas 2 angka yang berbeda yang dapat disusun dari angka-angka 3, 5, dan 7?
Jawab:

Banyaknya bilangan yang terdiri atas 2 angka berbeda dan disusun dari angka-angka 3, 5, dan 7 adalah sama dengan permutasi yang terdiri atas dua unsur yang dipilih dari 3 unsur, P (3, 2)

P (3, 2) = 3!/(3-2)!

             = 3!/1!

             = 3 x 2 x 1!/1!

             = 2 x 3

             = 6

3.) Dalam sebuah keluarga yang terdiri dari seorang ayah, seorang ibu, dan 3 orang anaknya makan bersama dan mengelilingi sebuah meja makan. Berapa banyaknya cara yang berlainan saat mereka dapat duduk, jika:

mereka berpindah-pindah tempat;
ayah dan ibu selalu berdekatan?

Baca selengkapnya »

KOMBINASI

1.) a. Diketahui $C_{2}^{n}=4n$ , tentukanlah nilai n.
b. Dari 20 siswa akan dipilih sebuah tim sepakbola yang terdiri atas 11 orang. Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut.

Pembahasan :

a.

Oleh karena n ≥ r maka yang memenuhi adalah n = 9.

b. Pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak memperhatikan urutan. Banyak cara memilih 11 orang siswa dari 20 siswa, yaitu $C_{20}^{11}$ .

Banyak cara memilih 11 orang siswa dari 20 siswa

2,) Suatu pertemuan dihadiri oleh 15 orang undangan. Jika mereka saling berjabat tangan, banyak jabat tangan yang terjadi dalam pertemuan itu adalah ....

Jawab: Banyak jabat tangan = C(15,2)

15!/(2!13!) = 105

3.) Banyaknya segitiga yang dapat dibuat dari 7 titik tanpa ada tiga titik yang terletak segaris adalah ....

Jawab:

Membuat segitiga dengan memilih 3 titik dari 7 titik yang tersedia adalah masalah kombinasi C(7, 3). Jadi, banyaknya segitiga = C(7,3)

4.) 6 orang siswa terpilih untuk mengikuti perlombaan tenis meja ganda. Tentukan banyaknya cara penyusunan pasangan pemain dari keenam siswa tersebut!

Jawaban :
Kombinasi 2 dari 6 :

6! 6! 6.5.4 !
6C2 = ___________ = ________ = ___________ = 15 cara pemasangan

(6 -2)! 2! 4! 2! 4! 2.1

5.)Dalam sebuah kantoh terdapat 7 kelereng. Berapa banyak cara mengambil 4 kelereng dari kantong tersebut?

Jawaban: 7C4 = 7!/4!(7-4)! = (7×6×5×4!)/4!3! = 35 cara

Kaidah Perkalian

KAIDAH PERKALIAN

Konsep “As” kaidah perkalian :
Jika tempat pertama itu berisi $n_1$ kemungkinan dan tempat kedua berisi $n_2$ kemungkinan, dan seterusnya sampai di tempat ke-k berisi $n_k$ kemungkinan, banyaknya kemungkinan yang mungkin terjadi untuk mengisi k tempat yang tersedia itu adalah

$n_1 \times n_2 \times \dots \times n_k$

Ilustrasi,

$n_1$

$n_2$

$n_3$

$n_4$

Maka, total kemungkinannya adalah $n_1 \times n_2 \times n_3 \times n_4$

Contoh Soal:
1,) Dari kota A ke kota B bisa ditempuh dengan 3 cara, dari kota B ke kota C dapat di tempuh dengan 5 cara. Jika dari kota A ingin menuju kota C dengan melalui kota B, ada berapa banyak cara yang bisa dipilih?
JAWAB :
Dengan menggunakan kaidah perkalian, didapatkan $3 \times 5=15$

2.) Dari angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan dibuat bilangan 4-angka yang lebih besar dari 4000, ada berapa banyak kemungkinan jika angka yang digunakan boleh berulang
JAWAB :

Mengapa di tempat ribuan hanya berisi 3? Karena, bilangan yang diinginkan adalah bilangan yang lebih besar dari 4000. Jadi, di tempat ribuan hanya bisa diisi oleh angka 4, 5 atau 6.
Jadi, total kemungkinannya adalah 3 x 6 x 6 x 6 kemungkinan

3.) Berapa cara yang dapat diperoleh untuk memilih posisi seorang tekong, apit kiri, dan apit kanan dari 15 atlet sepak takraw pelatnas SEA GAMES jika tidak ada posisi yang rangkap? (Tekong adalah pemain sepak takraw yang melakukan sepak permulaan).

Jawaban :

• Untuk posisi tekong.: dipilih dengan 15 cara dari 15 atlet pelatnas yang tersedia.

• Untuk posisi apit kiri. : dipilih dengan 14 cara dari 14 atlet yang ada (1 atlet lagi tidak terpilih karena menjadi tekong).

• Untuk posisi apit kanan. : dengan 13 cara dari 13 atlet yang ada (2 atlet tidak dapat dipilih karena telah menjadi tekong dan apit kiri).

Banyak cara yang dilakukan untuk memilih posisi dalam regu sepak takraw adalah 15 × 14 × 13 = 2.730 cara.

4.) Dari lima buah angka 0, 1, 2, 3, dan 4 hendak disusun suatu bilangan yang terdiri atas 4 angka. Berapa banyak bilangan yang dapat disusun apabila angka-angka itu tidak boleh berulang?

Jawab: Angka pertama (sebagai ribuan) dapat dipilih dari 4 angka yaitu 1, 2, 3, dan 4. Misalnya terpilih angka 1. Karena angka-angka itu tidak boleh berulang, maka angka kedua (sebagai ratusan) dapat dipilih dari 4 angka, yaitu 0, 2, 3 dan 4. Misalnya terpilih angka 0. Angka ketiga (sebagai puluhan) dapat dipilih dari 3 angka, yaitu 2, 3, dan 4. Misalkan yang terpilih angka 2. Angka keempat (sebagai satuan) dapat dipilih dari 2 angka, yaitu 3, dan 4. Jadi, seluruhnya ada 4 x 4 x 3 x 2 = 96 bilangan yang dapat disusun dengan angka-angka yang tidak boleh berulang.

5.) Dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, dan 7 akan dibentuk bilangan dengan 4 angka dan tidak boleh ada angka yang diulang.

a. Berapa banyak bilangan dapat dibentuk?

b. Berapa banyak bilangan ganjil yang dapat dibentuk?

c. Berapa banyak bilangan yang nilainya kurang dari 5.000 yang dapat dibentuk?

Jawab:

a. Angka ribuan ada 6 angka yang mungkin, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 1. Angka ratusan ada 6 angka yang mungkin, yaitu 0, 2, 3, 4, 5, dan 7. Misal terpilih angka 2. Angka puluhan ada 5 angka yang mungkin, yaitu 0, 3, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 3. Angka satuan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 0, 4, 5, dan 7. Jadi, banyak bilangan yang dapat dibentuk = 6 x 6 x 5 x 4 = 720 angka.

b. Bilangan ganjil apabila angka satuannya merupakan angka ganjil. Angka satuan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 1, 3, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 1. Angka ribuan ada 5 angka yang mungkin yaitu 2, 3, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 2. Angka ratusan ada 5 angka yang mungkin, yaitu 0, 3, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 3. Angka puluhan ada 4 angka yang mungkin yaitu 0, 4, 5, dan 7. Jadi, banyak bilangan ganjil yang dapat dibentuk = 4 x 5 x 5 x 4 = 400 angka.

c. Bilangan yang kurang dari 5.000, maka: Angka ribuan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 1, 2, 3, dan 4. Misalkan terpilih angka 1. Angka ratusan ada 6 angka yang mungkin yaitu 0, 2, 3, 4, 5, dan 7. Misal terpilih angka 2. Angka puluhan ada 5 angka yang mungkin yaitu 0, 3, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 3. Angka satuan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 0, 4, 5, dan 7. Jadi, banyak bilangan dapat dibentuk = 4 x 6 x 5 x 4 = 480 angka.

Peluang (matematika)

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Peluang atau kebolehjadian atau dikenal juga sebagai probabilitas adalah cara untuk mengungkapkan pengetahuan atau kepercayaan bahwa suatu kejadian akan berlaku atau telah terjadi. Konsep ini telah dirumuskan dengan lebih ketat dalam matematika, dan kemudian digunakan secara lebih luas dalam tidak hanya dalam matematika atau statistika, tapi juga keuangan, sains dan filsafat.

Probabilitas suatu kejadian adalah angka yang menunjukkan kemungkinan terjadinya suatu kejadian. Nilainya di antara 0 dan 1. Kejadian yang mempunyai nilai probabilitas 1 adalah kejadian yang pasti terjadi atau sesuatu yang telah terjadi. Misalnya matahari yang masih terbit di timur sampai sekarang. Sedangkan suatu kejadian yang mempunyai nilai probabilitas 0 adalah kejadian yang mustahil atau tidak mungkin terjadi. Misalnya seekor kambing melahirkan seekor sapi.
Probabilitas/Peluang suatu kejadian A terjadi dilambangkan dengan notasi P(A), p(A), atau Pr(A). Sebaliknya, probabilitas [bukan A] atau komplemen A, atau probabilitas suatu kejadian A tidak akan terjadi, adalah 1-P(A). Sebagai contoh, peluang untuk tidak munculnya mata dadu enam bila sebuah dadu bersisi enam digulirkan adalah

1-\frac{1}{6} = \frac{5}{6}

Minggu, 22 Februari 2015

Permuasi Siklis

Permutasi siklis adalah permutasi yang disusun melingkar. Misalnya A, B, dan C disusun melingkar.

Jika kita pandang urutan itu searah jarum jam maka susunan ABC, CAB, dan BCA adalah sama. Sehingga banyaknya permutasi siklis dari 3 objek adalah 3!/3 = (3 × 2!)/3 = 2! = 2. Jadi, akan dihasilkan 2 susunan yang berbeda secara siklis dari huruf-huruf A, B, dan C, yaitu ABC dan ACB.
Andaikan sekarang kita mempunyai 4 objek yang akan disusun secara siklis.

Keempat gambar di atas menunjukkan permutasi yang sama. Sehingga banyaknya permutasi siklis dari 4 objek adalah 4!/4 = (4 × 3!)/4 = 3! = 6. Jadi, akan dihasilkan 6 susunan yang berbeda secara siklis dari huruf-huruf A, B, C, dan D. Apa yang dapat disimpulkan dari kedua contoh di atas?

Banyaknya permutasi siklis dari n objek dapat dinyatakan dengan (n – 1)!

Untuk lebih memahami mengenai permutasi siklis, khususnya dalam pemecahan masalah, perhatikan contoh soal berikut ini.
Contoh Soal
Dalam sebuah keluarga yang terdiri dari seorang ayah, seorang ibu, dan 3 orang anaknya makan bersama dan mengelilingi sebuah meja makan. Berapa banyaknya cara yang berlainan saat mereka dapat duduk, jika:

mereka berpindah-pindah tempat;
ayah dan ibu selalu berdekatan?

Pembahasan Contoh Soal

Banyaknya anggota keluarga adalah 5 orang (seorang ayah, seorang ibu, dan 3 orang anak). Sehingga, banyaknya cara yang berlainan saat mereka duduk berpindah-pindah tempat adalah (5 – 1)! = 4! = 24 cara.
Perhatikan gambar berikut.

Ayah dan ibu selalu berdampingan, sehingga pasangan ini dapat kita anggap satu. Sehingga terdapat 4 objek yang akan disusun secara siklis. Akan tetapi pasangan ayah dan ibu dapat disusun kembali menjadi 2P2 cara. Sehingga banyaknya susunan agar ayah dan ibu selalu berdekatan adalah (4 – 1)! × 2P2 = 3! × 2! = 12 cara.

1. Permutasi

Permutasi BiasaPermutasi ini merupakan penyusunan kumpulan angka/objek dalam berbagai urutan-urutan yang berbeda tanpa ada pengulangan. Dalam permutasi urutan diperhatikan (tidak boleh ditukar-tempat).
Rumus Permutasi

Syarat :
r <= n (n harus lebih kecil atau sama dengan r)

Notasi :

_nP_r = P ⁿ_r = P(n,r) = Lihat rumus di kanan-atas :D
dimana n! adalah Faktorial

Contoh soal :
1. Sebuah dalam tim olahraga ada 10 orang siswa yang dicalonkan untuk menjadi pemain. Namun hanya 5 orang boleh menjadi pemain utama. Tentukan banyak cara yang bisa dipakai untuk memilih para pemain utama tersebut?

Diketahui :
Permutasi P (10,5) atau bisa juga 10P5 , n =10 dan r =5 , Maka :

Jawab : P(10,5) = n! / (n - r)!

=      10!        = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1  
  (10 - 5) !                           5!                                                      
= 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1                5 x 4 x 3 x 2 x 1=  ... ? (tinggal dikalikan)

Ingat Faktorial dari n bilangan adalah deret perkalian bilangan sebelumnya dan bilangan itu.
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1

Permutasi Unsur Sama
Jika permutasi diatas tidak ada unsur yang sama alias tiap element berbeda-beda. maka ada juga permutasi dengan elemen yang sama misalnya pada kata
MATEMATIKA dimana terdapat 3 huruf A, 2 huruf M dan 2 huruf T . Maka rumus nya nya

n! r₁! x r₂! x r_i!......

jadi kata MATEMATIKA di kerjakan seperti ini :
Dik : n = 10  (total huruf nya) 
r1 = 3 , r2 = 2, r3 = 2 
     10!      3! x 2! x 2! 
=

Permutasi Siklik
Permutasi siklis adalah permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu. sangat umum Soalnya biasanya tentang sususan orang di meja makan, meja rapat dsb.
Rumus nya sederhana : (n-1)! , dimana n adalah jumlah object/orang yang ada

contoh : 5 orang direktur duduk disebuah meja berbentuk lingkaran untuk rapat. Ada berapa cara untuk menyusun kursi para direktur tersebut?

Jawab : 
(5-1)! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

2.Perkalian

Sebelum menuju ke kaidah perkalian kita awali dengan pengamatan percobaan sederhana. Sebuah diagram pohon dapat digunakan dalam perhitungan ruang sampel. Misalnya pada percobaan 2 kali pelemparan sebuah mata uang. Himpunan hasil yang mungkin dapat diperoleh oleh seluruh garis yang ditunjukkan dalam diagram pohon berikut.

Dalam setiap percobaan ada 2 kemungkinan hasil angka (A) atau gambar (G). Percobaan dengan 2 kali pelemparan mata uang didapat hasil sebanyak 2²= 4 buah titik sampel. Jadi ruang sampel

S = {GG, GA, AG, AA}.

Jika dari kota A menuju kota B ada 3 jalan yaitu jalur p, q, atau r sedangkan dari kota B ke kota C ada 2 jalan yaitu jalur a atau b maka dari kota A ke kota C dapat ditempuh melalui 3 x 2 jalur yang berbeda, yaitu:

S = { (p ,a), (p ,b), (q ,a), (q ,b), (r ,a), (r ,b) }

Selanjutnya akan kita pelajari suatu kaidah yang berkaitan dengan percobaan seperti contoh di atas.

Dalam melakukan dua percobaan, kaidah perkalian mengatakan bahwa:

Jika satu percobaan memiliki m hasil yang mungkin dan percobaan yang lain memiliki n hasil yang mungkin, maka jika dua percobaan tersebut dilakukan bersamaan memiliki mn hasil yang mungkin.

Contoh Soal:

1.) Bila sepasang dadu dilemparkan sekali, berapa banyak titik sampel dalam ruang sampelnya ?.

Jawab :

Jika sepasang dadu dilemparkan satu kali maka dadu pertama akan muncul 6 cara sedangkan dadu kedua .akan muncul 6 cara juga

Dengan demikian, sepasang dadu tersebut dapat terjadi dalam 6 × 6 = 36 cara.

2.) Sebuah dadu dan sebuah uang logam dilempar secara bersamaan, hasil yang mungkin adalah:

Untuk dadu; jika hasil dari lemparan mata dadu adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, maka ada 6 hasil yang mungkin,
Untuk uang logam; jika hasil lemparan uang logam ada gambar dan angka, maka ada 2 hasil yang mungkin.

Sehingga dengan kaidah perkalian diperoleh banyaknya elemen dari ruang sampel ada 6 × 2 = 12 hasil yang mungkin.

3,) Diketahui empat angka 1, 3, 4, 9 tentukan banyaknya bilangan yang dapat dibuat dari angka tersebut yang terdiri dari

a. 2 angka / digit.
b. 2 angka tetapi tidak boleh ada angka yang sama.

Penyelesaian :

a. Untuk mempermudah sediakan dua kotak yang akan diisi jumlah kemungkinan tiap kotak, yaitu kotak pertama untuk letak angka puluhan dan kotak kedua untuk angka satuan.

Gambar 1.2.2 Menyusun dua angka pada deretan dua kotak

Kotak pertama ada 4 kemungkinan angka. Kotak kedua ada 4 kemungkinan, karena angka yang muncul di kotak pertama boleh muncul di kotak kedua. Jadi banyaknya bilangan yang dimaksud adalah 4 × 4 = 16.

b. Dengan cara yang sama dengan penyelesaian soal 1, tetapi karena tidak boleh sama angkanya maka kalau angka puluhan sudah muncul kemungkinan angka satuannya berkurang satu dan jumlah kemungkinannya adalah 4 × 3 = 12.

Permutasi Dan Kombinasi

Notasi Faktorial

Hasil kali dari bilangan-bilangan bulat positif dari 1 sampai dengan n, yaitu

1×2×3×4 · … × (n-2) × (n-1) ×n

sering digunakan dalam matematika. Dan selanjutnya buat definisi sebagai berikut.

Untuk sembarang bilangan bulat , n faktorial yang ditulis n!, didefinisikan sebagai:

n! = n × (n-1) × (n-2) × … ×3×2×1 Dan didefinisikan 0!=1.

Dari definisi n!, dapat dicari persamaan berikut ini.

Contoh :

4! = 4×3×2×1 = 24.

6! = 6.5! = 6×5×4×3×2×1 = 720.

Permutasi

1.)Permutasi tanpa ulangan

Permutasi berkaitan dengan pengaturan suatu susunan yang dibentuk oleh keseluruhan atau sebagian dari sekumpulan objek tanpa ada pengulangan. Susunan pada permutasi memperhatikan urutannya.

Contoh:

-.) Untuk mengatur 3 huruf A, B dan C secara berurutan, didapat hasil yang mungkin adalah : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, dan CBA. Masing-masing urutan ini dinamakan permutasi dari 3 obyek berbeda yaitu: A, B dan C. Jadi banyaknya permutasi dari 3 obyek berbeda ada 6.

Misal, diberikan n obyek berbeda. Banyaknya permutasi n obyek tersebut dapat dihitung sebagai berikut:

- untuk mengisi posisi urutan pertama ada n cara berbeda,

- untuk mengisi posisi urutan kedua ada n-1 cara berbeda,

- untuk mengisi posisi urutan ketiga ada n-2 cara berbeda,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

- untuk mengisi posisi urutan ke-r ada n-(r-1) cara berbeda,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

- untuk mengisi posisi urutan ke-n ada n-(n-1)=1 cara berbeda.

Sehingga dengan kaidah perkalian diperoleh banyaknya permutasi adalah

n×(n-1) ×(n-2) ×(n-3) × … × 3×2×1 = n!

Suatu pengaturan susunan/urutan r objek tanpa pengulangan yang dibentuk dari n objek berbeda, dengan n lebih besar sama dengan r, dinamakan permutasi r objek dari n objek.

Banyaknya permutasi ini disimbulkan dengan P(n,r).

Jika r=n maka banyaknya permutasi n objek yang berbeda adalah P(n,n) = n!. Lihat penjelasan sebelum definisi dan definisi dari permutasi.

2,) Permutasi Dengan Pengulangan

Permutasi dengan pengulangan merupakan permutasi r objek dari n buah objek yang tidak harus berbeda. Beda dengan sebelumnya yang n buah objeknya berbeda. Sebelum menghitung banyaknya permutasi dengan pengulangan ini, terlebih dahulu kita lihat contoh berikut ini.

Tentukan ada berapa cara untuk menyusun berjajar huruf-huruf yang terdapat dalam sebuah kata "PEPPER"!

Penyelesaian:

Jika 3 huruf P dan 2 huruf E dapat dibedakan, maka ada sebanyak cara berbeda yang mungkin.

Akan tetapi, jika 3 huruf P tidak dapat dibedakan, maka 3! susunan yang dibentuk dari 3 huruf P diwakili/dihitung satu saja. Sehingga banyaknya susunan yang ada harus dibagi 3!, akibat 3 huruf P yang kembar.

Secara sama, jika 2 huruf E tidak dapat dibedakan, maka 2! susunan yang dibentuk dari 2 huruf E diwakili/dihitung satu saja. Sehingga banyaknya susunan yang ada harus dibagi lagi dengan 2!, akibat 2 huruf E yang kembar.

Jadi banyaknya cara menyusun menyusun huruf-huruf tersebut ada sebanyak

Baca selengkapnya »