Transformasi Geo (2)

3.      Rotasi ( Perputaran )

Rotasi adalah transformasi yang memetakan setiap titik pada bidang ketitik lainnya dengan cara memutar pada pusat titik tertentu. Titik pusat rotasi adalah titik tetap atau titik pusat yang digunakan sebagai acuan untuk menentukan arah dan besar sudut rotasi. Titik pusat dapat berada di dalam, pada, atau di luar bangun geometri yang hendak dirotasi.

Arah rotasi disepakati dengan aturan bahwa jika perputaran berlawanan dengan arah jarum jam, maka rotasi bernilai positif, sedangkan jika perputaran searah jarum jam, maka rotasi bernilai negatif. Besarnya sudut putar rotasi menentukan jauhnya rotasi. Jauh rotasi dinyatakan dalam bilangan pecahan terhadap satu kali putaran penuh (360°) atau besar sudut dalam ukuran derajat atau radian.

Bayangan titik P (x,y) yang dirotasikan terhadap pusat O (0,0) sebesar θ adalah P’(x’ ,y’ ) dengan:

X’ = x cos θ – y sin θ

Y’ = x sin θ + y cos θ

Bayangan titik P (x,y) yang dirotasikan terhadap pusat A (a,b) sebesar θ adalah    P’(x’ , y’) dengan:

X’ – a = (x-a) cos θ – (y-b) sin θ

Y’ – a = (x-a) sin θ + (y-b) cos θ

4.      Dilatasi ( Perbesaran/ Perkalian)

Ditalasi adalah transformasi yang mengubah ukuran atau skala suatu bangun geometri (pembesaran/pengecilan), tetapi tidak mengubah bentuk bangunan tersebut. Bayangan titik P (x,y) oleh dilatasi [ O, k] adalah P’ (x’ ,y’) dengan X’ = kx dan y’=ky

Dilatasi Pusat O(0,0) dan faktor skala k Jika titik P(x,y) didilatasi terhadap pusat O(0,0) dan faktor skala  di  dapat bayangan P’(x’,y’) maka

x’ = kx dan y’ = ky dan dilambangkan dengan [O,k]

Contoh Soal dan Pembahasan :

1.     Garis 2x – 3y = 6 memotong sumbu X di A dan memotong sumbu Y di B. Karena dilatasi [O,-2], titik A menjadi A’ dan titik B menjadi B’. Hitunglah luas segitiga OA’B’ !

Jawab : garis 2x – 3y = 6 memotong sumbu X di A(3,0)

    memotong sumbu Y di B(0,2)

karena dilatasi [O,-2] maka A’(kx,ky)→ A’(-6,0)

    B’(kx,ky) → B’(0,-4)

Titik A’(-6,0), B’(0,-4) dan titik O(0,0) membentuk segitiga seperti pada gambar:

            Sehingga luasnya = ½ x OA’ x OB’

                                             = ½ x 6 x 4

                                           = 12

2.     Titik A(-5,13) didilatasikan oleh [P,⅔] menghasilkan A’. Jika koordinat titik  P(1,-2),maka koordinat titik A’ adalah….

Jawab :

            A(x,y)                               A’(x’,y’)

x’ = k(x – a) + a

y’ = k(y – b) + b

A(-5,13)                           A’(x’ y’)

x’ = k(x – a) + a

y’ = k(y – b) + b

A(-5,13)                           A’(x’ y’)

x’ = ⅔(-5 – 1) + 1 = -3

y’= ⅔(13 – (-2)) + (-2) = 8

Jadi koordinat titik A’(-3,8)

3.     Diketahui segitiga OAB dengan koordinat titik O(0,0), A(3,0) dan B(3,5).Tentukan koordinat bayangan segitiga OAB tersebut bila ditranslasi oleh T =

Jawab :

(0,0) →  (0 + 1, 0 + 3)

                                                                0’(1,3)

                                                (3,0) →  (3 + 1, 0 + 3)

               A’(4,3)

                                                (3,5) →  (3 + 1, 5 + 3)

                                                               B’(4,8)

4.     Bayangan persamaan lingkaran  x² + y² = 25 oleh translasi T =       adalah….

 Jawab :  Karena translasi T =          maka

x’ = x – 1 → x = x’ + 1.….(1)

y’ = y + 3 → y = y’ – 3…..(2)

(1)  dan (2) di substitusi ke x² + y² = 25

diperoleh (x’ + 1)² + (y’ – 3)² = 25;

Jadi bayangannya adalah: (x + 1)² + (y – 3)² = 25

           

5.     Persamaan bayangan garis  x + y = 6 setelah dirotasikan pada pangkal koordinat dengan sudut putaran +90^o, adalah….

Jawab : R₊₉₀^o  berarti: x’ = -y → y = -x’

                      y’ = x  → x = y’

disubstitusi ke:      x + y = 6

                        y’ + (-x’) = 6

y’ – x’ = 6 → x’ – y’ = -6

Jadi bayangannya: x – y = -6

6.     Persamaan bayangan garis  2x - y + 6 = 0 setelah dirotasikan pada pangkal koordinat dengan sudut putaran -90^o , adalah….

Jawab : R_-90^o  berarti:

x’ = xcos(-90) – ysin(-90)

y’ = xsin(-90) + ycos(-90)

x’ = 0 – y(-1) = y

y’ = x(-1) + 0 = -x’

dengan matriks:

                  R_-90^o  berarti:  x’ = y → y = x’

                                          y’ = -x  → x = -y’

disubstitusi ke:         2x - y + 6 = 0

                                                        2(-y’) - x’ + 6 = 0

                                                      -2y’ – x’ + 6 = 0

                                                       x’ + 2y’ – 6 = 0

Jadi bayangannya: x + y – 6 = 0