A. PENGERTIAN
TRANSFORMASI GEOMETRI
Untuk memindahkan
satu titik atau bangun pada bidang dapat dilakukan dengan menggunakan
Transformasi. Transformasi Geometri adalah bagian dari geometri yang
membicarakan perubahan, baik perubahan letak maupun bentuk penyajianya
didasarkan dengan gambar dan matriks. Transformasi Geometri lebih sering
disebut transformasi adalah mengubah setiap koordinat titik (titik-titik dari
suatu bangun) menjadi koordinat lainnya pada bidang dengan satu aturan
tertentu. Misalnya, transformasi T terhadap titik P
(x,y) menghasilkan bayangan P’ (x’, y’)operasi tersebut
dapat ditulis sebagai :
P
(x, y) → P’ (x’, y’)
B. JENIS-JENIS
TRANSFORMASI
1. Translasi (
Pergeseran )
Translasi adalah
Transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang menurut jarak dan arah
tertentu. Di dalam operasi translasi, bangun geometri bayangan kongruen
terhadap bangun geometri semula.
Translasi T dapat
dinyatakan dalam bentuk pasangan terurut dua bilangan ab dan dituliskan sebagai:
T
= ab
Keterangan:
·
a dan b masing-masing
disebut sebagai komponen translasi
·
a menyatakan komponen
translasi dalam arah sumbu X
§
Ø Jika a > 0, maka arah pergeserannya adalah a satuan ke
kanan
§ Ø Jika a < 0, maka arah pergeserannya adalah |a| satuan ke
kiri
b menyatakan
komponen translasi dalam arah sumbu Y
§ Ø Jika b > 0, maka arah pergeserannya adalah b satuan ke
atas
§ Ø Jika b < 0, maka arah pergeserannya adalah |b| satuan ke
bawah
Bayangan titik P
(x,y) oleh translasi T = ab adalah P’
(x’ , y’) dengan
x’= x+a dan y’
= y+b. Bayangan garis y = mx + c oleh translasi T=ab adalah
garis y - b = m (x - a) + c.
2. Refleksi (
Pencerminan )
Refleksi adalah suatu
transformasi yang memindahkan tiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat
bayangan cermin dari titik-titik yang akan dipindahkan. Jika sebuah bangun
geometri dicerminkan terhadap sebuah garis tertentu, maka bangun bayangan
kongruen dengan bangun semula. Pada transformasi refleksi, jarak titik pada
bangun bayangan ke sumbu cermin sama dengan jarak titik pada bangun semula ke
sumbu cermin.
Cara melukis
bayangan dari bangun geometri adalah seagai berikut.
o
Tentukan terlebih
dahulu sebuah garis yang akan bertindak sebagai sumbu cermin atau sumbu
simetri.
o
Dari tiap titik sudut
geometri yang akan dilukis bayangannya, buatlah garis yang tegak lurus terhadap
sumbu cermin.
o
Lukislah titik-titik
sudut bangun geometri bayangan dengan cara mengukur jarak antara titik sudut
bangun geometri bayangan terhadap sumbu cermin sama dengan jarak titik sudut bangun
geometri semula terhadap sumbu cermin.
o
Hubungkan titik-titik
sudut yang berdekatan sehingga diperoleh bangun geometri bayangan.
Persamaan
transformasi pada bidang, yaitu
o
Persamaaan
transformasi terhadap sumbu X
Misalkan titik P(x,y) dicerminkan
terhadap sumbu X sehingga diperoleh bayangan titik P’(x’,y’).
Persamaan transformasi terhadap sumbu X ditentukan oleh
hubungan:
x’
= x
y’
= -y
Ditulis : P(x,y) sumbu X P’(x,-y)
o
Persamaan
transformasi terhadap sumbu Y
Misalkan titik P(x,y) dicerminkan
terhadap sumbu Y sehingga diperoleh bayangan titik P’(x’,y’).
Persamaan transformasi terhadap sumbu Y ditentukan oleh
hubungan:
x’ = -x
y’ = y
Ditulis : P(x,y) sumbu Y P’(-x,y)
·
Persamaan
transformasi refleksi terhadap garis y = x
Misalkan titik P(x,y) dicerminkan
terhadap garis y = x sehingga diperoleh bayangan
titik P’(x’,y’). Persamaan transformasi terhadap garis y =
x ditentukan oleh hubungan:
x’ = y
y’ = x
Ditulis : P(x,y) y = x P’(y,x)
·
Persamaan
transformasi refleksi terhadap garis y = -x
Misalkan titik P(x,y) dicerminkan
terhadap garis y = -x sehingga diperoleh bayangan
titik P’(x’,y’). Persamaan transformasi terhadap garis y =
- x ditentukan oleh hubungan:
x’ = -y
y’ = -x
Ditulis : P(x,y) y = -x P’(-y,-x)
·
Persamaan
transformasi refleksi terhadap titik asal O(0,0)
Misalkan titik P(x,y) dicerminkan
terhadap titik asal O(0,0) sehingga diperoleh bayangan titik P’(x’,y’).
Persamaan transformasi terhadap titik asal O(0,0) ditentukan
oleh hubungan:
x’ = -x
y’ = -y
Ditulis : P(x,y) titik asal O P’(-x,-y)
·
Persamaan
transformasi refleksi terhadap garis x = h
Misalkan titik P(x,y) dicerminkan
terhadap garis x = h sehingga diperoleh bayangan
titik P’(x’,y’). Persamaan transformasi terhadap garis x =
h ditentukan oleh hubungan:
x’ = 2h -x
y’ = y
Ditulis : P(x,y) x = h P’(2h-x, y)
·
Persamaan
transformasi refleksi terhadap garis y = k
Misalkan titik P(x,y) dicerminkan
terhadap garis y = k sehingga diperoleh bayangan titik P’(x’,y’).
Persamaan transformasi terhadap garis y = k ditentukan oleh hubungan:
x’ = x
y’ = 2k-y
Ditulis : P(x,y) y = k P’(x, 2k-y)
3. Rotasi (
Perputaran )
Rotasi adalah
transformasi yang memetakan setiap titik pada bidang ketitik lainnya dengan
cara memutar pada pusat titik tertentu. Titik pusat rotasi adalah titik tetap
atau titik pusat yang digunakan sebagai acuan untuk menentukan arah dan besar
sudut rotasi. Titik pusat dapat berada di dalam, pada, atau di luar bangun
geometri yang hendak dirotasi.
Arah rotasi
disepakati dengan aturan bahwa jika perputaran berlawanan dengan arah jarum
jam, maka rotasi bernilai positif, sedangkan jika perputaran searah jarum jam,
maka rotasi bernilai negatif. Besarnya sudut putar rotasi menentukan jauhnya
rotasi. Jauh rotasi dinyatakan dalam bilangan pecahan terhadap satu kali
putaran penuh (360°) atau besar sudut
dalam ukuran derajat atau radian.
Bayangan titik P
(x,y) yang dirotasikan terhadap pusat O (0,0) sebesar θ adalah P’(x’ ,y’ ) dengan:
X’ = x cos θ – y sin
θ
Y’ = x sin θ + y cos
θ
Bayangan titik P
(x,y) yang dirotasikan terhadap pusat A (a,b) sebesar θ
adalah P’(x’ , y’) dengan:
X’ – a = (x-a) cos θ
– (y-b) sin θ
Y’ – a = (x-a) sin θ
+ (y-b) cos θ
Tidak ada komentar:
Posting Komentar