Permutasi

Permutasi adalah pengelompokkan unsur dengan memperhatikan urutan. Permutasi dilakukan dengan cara menyusun kembali suatu kumpulan objek dalam urutan yang berbeda dari urutan semula yang sudah dilakukan. Dalam permutasi berlaku susunan AB ≠ susunan BA sehingga AB dan BA merupakan dua susunan yang berbeda. Penulisan permutasi dapat disombolkan dengan P(n,k), nPk ataupun Pkⁿ dibaca permutasi k dari n benda yaitu menyusun ulang sejumlah unsur saja.

Banyaknya permutasi k unsur dari n benda dapat dihitung dengan menggunakan persamaan berikut :

                 n!
nPr = ————
             (n - r)!

dengan syarat r ≤ n.

Permutasi dapat berupa permutasi siklis maupun permutasi berulang sebagai berikut :

1. Permutasi Siklis
   Permutasi siklis adalah jenis permutasi yang beranggapan bahwa susunan benda berbentuk lingkaran. Dengan kata lain, permutasi siklis digunakan untuk melihat banyaknya penyusunan benda yang disusun secara melingkar.
   
   nP(siklis) = (n - 1)!
   
2. Permutasi Berulang
   Permutasi berulang adalah jenis permutasi yang dalam penyusunannya urutan diperhatikan dan suatu objek dapat dipilih lebih dari sekali sehingga ada perulangan. Banyaknya permutasi adalah :
   
   nPr (berulang) = n^r
   
   dengan :
   n = banyaknya objek yang dapat dipilih
   r = jumlah yang harus dipilih.
    
    
   Contoh Soal:
   1.) Tentukan banyaknya bilangan yang terdiri dari 6 angka yang disusun dari 2 buah angka 1, 3 buah angka 2, dan 1 buah angka 3!

   Jawab:

   Banyaknya bilangan yang terdiri atas 6 angka yang disusun dari 2 buah angka 1, 3 buah angka 2, dan 1 buah angka 3 adalah:

   6!/2! 3! 1! = 60 bilangan

    

   2.) Banyaknya bilangan yang terdiri atas 2 angka yang berbeda yang dapat disusun dari angka-angka 3, 5, dan 7?

   Jawab:

   Banyaknya bilangan yang terdiri atas 2 angka berbeda dan disusun dari angka-angka 3, 5, dan 7 adalah sama dengan permutasi yang terdiri atas dua unsur yang dipilih dari 3 unsur, P (3, 2)

   P (3, 2) = 3!/(3-2)!

                = 3!/1!

                = 3 x 2 x 1!/1!

                = 2 x 3

                = 6

    

   
   

3.) Dalam sebuah keluarga yang terdiri dari seorang ayah, seorang ibu, dan 3 orang anaknya makan bersama dan mengelilingi sebuah meja makan. Berapa banyaknya cara yang berlainan saat mereka dapat duduk, jika:

1. mereka berpindah-pindah tempat;
2. ayah dan ibu selalu berdekatan?

Pembahasan Contoh Soal

1. Banyaknya anggota keluarga adalah 5 orang (seorang ayah, seorang ibu, dan 3 orang anak). Sehingga, banyaknya cara yang berlainan saat mereka duduk berpindah-pindah tempat adalah (5 – 1)! = 4! = 24 cara.

 

 2. Ayah dan ibu selalu berdampingan, sehingga pasangan ini dapat kita anggap satu. Sehingga terdapat 4 objek yang akan disusun secara siklis. Akan tetapi pasangan ayah dan ibu dapat disusun kembali menjadi 2P2 cara. Sehingga banyaknya susunan agar ayah dan ibu selalu berdekatan adalah (4 – 1)! × 2P2 = 3! × 2! = 12 cara

 

 

4.) Menjelang HUT RI yang akan datang di salah satu desa  akan dibentuk panitia inti sebanyak 2 orang (terdiri dari ketua dan wakil ketua), calon panitia tersebut ada 6 orang yaitu: a, b, c, d, e, dan f. Ada berapa sang calon yang dapat duduk sebagai panitia inti tersebut?

Jawab : 6P2 = 6!/(6-2)!
       = (6.5.4.3.2.1)/(4.3.2.1)
       = 720/24
       = 30 cara

5.) Berapa banyak susunan huruf-huruf yang berbeda yang  dapat disusun dari huruf-huruf pada kata “ SSST “?

Jawab : P = 4!3!  = 4.3.2.1 3.2.1  = 4 macam susunan ( SSST,SSTS, STSS,TSSS )