1. Permutasi

Permutasi BiasaPermutasi ini merupakan penyusunan kumpulan angka/objek dalam berbagai urutan-urutan yang berbeda tanpa ada pengulangan. Dalam permutasi urutan diperhatikan (tidak boleh ditukar-tempat).
Rumus Permutasi 

Syarat  : 
r <= n (n harus lebih kecil atau sama dengan r)

Notasi : 

_nP_r  = P ⁿ_r = P(n,r) = Lihat rumus di kanan-atas :D
dimana n! adalah Faktorial

Contoh soal : 
1. Sebuah dalam tim olahraga ada 10 orang siswa yang dicalonkan untuk menjadi pemain. Namun hanya 5 orang boleh menjadi pemain utama. Tentukan banyak cara yang bisa dipakai untuk memilih para pemain utama tersebut?

Diketahui :
Permutasi P (10,5) atau bisa juga 10P5 ,  n =10 dan r =5 , Maka : 

Jawab : P(10,5) = n! / (n - r)!

=      10!        = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1  
  (10 - 5) !                           5!                                                      
= 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1                5 x 4 x 3 x 2 x 1=  ... ? (tinggal dikalikan)

Ingat Faktorial dari n bilangan adalah deret perkalian bilangan sebelumnya dan bilangan itu.
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1

Permutasi Unsur Sama 
Jika permutasi diatas tidak ada unsur yang sama alias tiap element berbeda-beda. maka ada juga permutasi dengan elemen yang sama misalnya pada kata
MATEMATIKA dimana terdapat 3 huruf A, 2 huruf M dan 2 huruf T . Maka rumus nya nya

        n!             r₁! x r₂! x r_i!......

jadi kata MATEMATIKA di kerjakan seperti ini :
Dik : n = 10  (total huruf nya) 
r1 = 3 , r2 = 2, r3 = 2 
     10!      3! x 2! x 2! 
= 

 Permutasi Siklik
Permutasi siklis adalah permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu. sangat umum Soalnya biasanya tentang sususan orang di meja makan, meja rapat dsb.
Rumus nya sederhana : (n-1)! , dimana n adalah jumlah object/orang yang ada

contoh : 5 orang direktur duduk disebuah meja berbentuk lingkaran untuk rapat. Ada berapa cara untuk menyusun kursi para direktur tersebut?

Jawab : 
(5-1)! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

2.Perkalian

Sebelum menuju ke kaidah perkalian kita awali dengan pengamatan percobaan sederhana. Sebuah diagram pohon dapat digunakan dalam perhitungan ruang sampel. Misalnya pada percobaan 2 kali pelemparan sebuah mata uang. Himpunan hasil yang mungkin dapat diperoleh oleh seluruh garis yang ditunjukkan dalam diagram pohon berikut. 

Dalam setiap percobaan ada 2 kemungkinan hasil angka (A) atau gambar (G). Percobaan dengan 2 kali pelemparan mata uang didapat hasil sebanyak 2² = 4 buah titik sampel. Jadi ruang sampel  

S = {GG, GA, AG, AA}. 

Jika dari kota A menuju kota B ada 3 jalan yaitu jalur p, q, atau r sedangkan dari kota B ke kota C ada 2 jalan yaitu jalur a atau b maka dari kota A ke kota C dapat ditempuh melalui 3 x 2 jalur yang berbeda, yaitu:

S = { (p ,a), (p ,b), (q ,a), (q ,b), (r ,a), (r ,b) } 

Selanjutnya akan kita pelajari suatu kaidah yang berkaitan dengan percobaan seperti contoh di atas.

Dalam melakukan dua percobaan, kaidah perkalian mengatakan bahwa:

Jika satu percobaan memiliki m hasil yang mungkin dan percobaan yang lain memiliki n hasil yang mungkin, maka jika dua percobaan tersebut dilakukan bersamaan memiliki mn hasil yang mungkin. 

Contoh Soal:

1.) Bila sepasang dadu dilemparkan sekali, berapa banyak titik sampel dalam ruang sampelnya ?.

Jawab :

Jika sepasang dadu dilemparkan satu kali maka dadu pertama akan muncul 6 cara sedangkan dadu kedua .akan muncul 6 cara juga

Dengan demikian, sepasang dadu tersebut dapat terjadi dalam 6 × 6 = 36 cara.

  

2.) Sebuah dadu dan sebuah uang logam dilempar secara bersamaan, hasil yang mungkin adalah:

• Untuk dadu; jika hasil dari lemparan mata dadu adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, maka ada 6 hasil yang mungkin,
• Untuk uang logam; jika hasil lemparan uang logam ada gambar dan angka, maka ada 2 hasil yang mungkin.

Sehingga dengan kaidah perkalian diperoleh banyaknya elemen dari ruang sampel ada 6 × 2 = 12 hasil yang mungkin. 

3,) Diketahui empat angka 1, 3, 4, 9 tentukan banyaknya bilangan yang dapat dibuat dari angka tersebut yang terdiri dari

a. 2 angka / digit.
b. 2 angka tetapi tidak boleh ada angka yang sama.

Penyelesaian :

a. Untuk mempermudah sediakan dua kotak yang akan diisi jumlah kemungkinan tiap kotak, yaitu kotak pertama untuk letak angka puluhan dan kotak kedua untuk angka satuan.

Gambar 1.2.2 Menyusun dua angka pada deretan dua kotak

Kotak pertama ada 4 kemungkinan angka. Kotak kedua ada 4 kemungkinan, karena angka yang muncul di kotak pertama boleh muncul di kotak kedua. Jadi banyaknya bilangan yang dimaksud adalah 4 × 4 = 16.

b. Dengan cara yang sama dengan penyelesaian soal 1, tetapi karena tidak boleh sama angkanya maka kalau angka puluhan sudah muncul kemungkinan angka satuannya berkurang satu dan jumlah kemungkinannya adalah 4 × 3 = 12. 

Permutasi Dan Kombinasi   

Notasi Faktorial

Hasil kali dari bilangan-bilangan bulat positif dari 1 sampai dengan n, yaitu

1×2×3×4 · … × (n-2) × (n-1) ×n

sering digunakan dalam matematika. Dan selanjutnya buat definisi sebagai berikut. 

Untuk sembarang bilangan bulat , n faktorial yang ditulis n!, didefinisikan sebagai:

n! = n × (n-1) × (n-2) × … ×3×2×1 Dan didefinisikan 0!=1.  

 

Dari definisi n!, dapat dicari persamaan berikut ini.

  

Contoh  :

4! = 4×3×2×1 = 24.

6! = 6.5! = 6×5×4×3×2×1 = 720. 

Permutasi

1.)Permutasi tanpa ulangan

  Permutasi berkaitan dengan pengaturan suatu susunan yang dibentuk oleh keseluruhan atau sebagian dari sekumpulan objek tanpa ada pengulangan. Susunan pada permutasi memperhatikan urutannya. 

Contoh:

-.) Untuk mengatur 3 huruf A, B dan C secara berurutan, didapat hasil yang mungkin adalah : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, dan CBA. Masing-masing urutan ini dinamakan permutasi dari 3 obyek berbeda yaitu: A, B dan C. Jadi banyaknya permutasi dari 3 obyek berbeda ada 6.

Misal, diberikan n obyek berbeda. Banyaknya permutasi n obyek tersebut dapat dihitung sebagai berikut:

- untuk mengisi posisi urutan pertama ada n cara berbeda,

- untuk mengisi posisi urutan kedua ada n-1 cara berbeda,

- untuk mengisi posisi urutan ketiga ada n-2 cara berbeda,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

- untuk mengisi posisi urutan ke-r ada n-(r-1) cara berbeda,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

- untuk mengisi posisi urutan ke-n ada n-(n-1)=1 cara berbeda.

Sehingga dengan kaidah perkalian diperoleh banyaknya permutasi adalah

n×(n-1) ×(n-2) ×(n-3) × … × 3×2×1 = n! 

Suatu pengaturan susunan/urutan r objek tanpa pengulangan yang dibentuk dari n objek berbeda, dengan n lebih besar sama dengan r, dinamakan permutasi r objek dari n objek.

Banyaknya permutasi ini disimbulkan dengan P(n,r).

Jika r=n maka banyaknya permutasi n objek yang berbeda adalah P(n,n) = n!. Lihat penjelasan sebelum definisi dan definisi dari permutasi.

 

 

2,) Permutasi Dengan Pengulangan

 Permutasi dengan pengulangan merupakan permutasi r objek dari n buah objek yang tidak harus berbeda. Beda dengan sebelumnya yang n buah objeknya berbeda. Sebelum menghitung banyaknya permutasi dengan pengulangan ini, terlebih dahulu kita lihat contoh berikut ini.

Tentukan ada berapa cara untuk menyusun berjajar huruf-huruf yang terdapat dalam sebuah kata "PEPPER"!

Penyelesaian:

Jika 3 huruf P dan 2 huruf E dapat dibedakan, maka ada sebanyak cara berbeda yang mungkin.

Akan tetapi, jika 3 huruf P tidak dapat dibedakan, maka 3! susunan yang dibentuk dari 3 huruf P diwakili/dihitung satu saja. Sehingga banyaknya susunan yang ada harus dibagi 3!, akibat 3 huruf P yang kembar.

Secara sama, jika 2 huruf E tidak dapat dibedakan, maka 2! susunan yang dibentuk dari 2 huruf E diwakili/dihitung satu saja. Sehingga banyaknya susunan yang ada harus dibagi lagi dengan 2!, akibat 2 huruf E yang kembar.

Jadi banyaknya cara menyusun menyusun huruf-huruf tersebut ada sebanyak

Kombinasi

Didalam permutasi urutan dari suatu susunan diperhatikan, misal susunan ABC dan BCA dianggap berbeda. Didalam kombinasi dua susunan tersebut dipandang sama. Sebagai gambaran, tim bola voli terdiri dari Anton, Budi, Cecep, Dede, Erik, dan Fery. Karena ini merupakan tim bola voli maka urutannya dibalik dianggap sama, atau dengan kata lain urutan tidak diperhatikan.

Suatu kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang berlainan adalah suatu pilihan dari r unsur tanpa memperhatikan urutannya (r ≤ n).